高校生クイズ2009で出題された数学の問題から(3)

　高校生クイズで出題された問題を一般化してみたところ、面白い構造が浮かび上がってきました。その構造を考察している記事の３回目です。
　前回ではｎ＝１から６までの各々に対して、Ｐ_nを求めてみたのでした。再び、前回の画像を貼り付けます。

　まずは、途中式の方から見ます。
　分母の規則はすぐに気づくでしょう。自然数のべきになっています。それぞれのｎに対して、ｎ¹，ｎ²，……，ｎⁿ と並んでいます。
　分子もこの記事を熱心に読んでくれる人ならば、きっと問題ないはず（？）。「パスケルの三角形」に並ぶ数。いわゆる「二項係数」です。コンビネーション、_nＣ_rで表される数です。

　次に一般項です。
　僕はＰ₅の分子からピンと来ました。1296は36の平方。つまり、1296＝６⁴ の関係が成り立ちます。偶然にしてはできすぎです。他の値も確認したら、案の定、きれいな関係が成立していました。

　これを見つけたとき、おおぉと声が漏れそうになりました。このきれいな式を書きたくて、ＷＯＲＤを引っ張り出してまでがんばりました。
　さあ、ここまでくれば、Ｐ_nの一般項を予想するのは何の苦労もありません。つまり、

となりますね。この予想が成立するのは確認済みです。
　ｎを無限大に発散させれば、この一般項は０に収束します。

　一般項がここまで美しい形で表現できると、うまい対応がありそうです。残念ながら、まだ考えがそこまで到達していません。誰かチャレンジしてみませんか？