高校生クイズ2009で出題された数学の問題から(2)

　高校生クイズで出題された数学の問題に端を発して、ふとアイデアがよぎりました。サイコロの目を「１から６」とせず、「１からｎ」と一般化してみたらどうなるのだろうというアイデアです。
　つまり、こういう問題です。

１～ｎまでの目が等しい確率で出るサイコロを繰り返し投げるとき、出た目の和がｎになる確率を求めなさい。

　ｎが１やら２、３のときは「どんなサイコロやねん！」とツッコミを入れたくなる気持ちもわかりますが、そこは目をつむってください。

　計算をせずとも、ｎが大きくなればなるほどその確率はだんだん小さくなるのは予想できます。しかし、その確率は０に収束するのか。それとも、０以外の特定の値に収束するのか。直感ではどう考えますか。また、各々のｎの値でこの確率を計算するのは（根性さえあれば）容易です。しかし、ｎの式で表すとどうなるでしょう。綺麗な式になるのでしょうか。

　何はともあれ計算してみました。

　以下において、各々のｎに対する求める確率をＰ_nと表します。

　解き方を解説するのが目的ではないので、解法の解説は割愛します。

　解いていくとその構造に気づくのですが、こうして並べられた式を見るだけでも、式の美しさが目を引きます。
　計算してみて、または、上を見て、この途中式の構造に気づくでしょうか。Ｐ_nの一般式を予想できますか。そして、この式の構造からそのＰ_nの一般式を直接示せますか。また、ｎを無限大に発散させたときのＰ_nの収束はどうなるでしょう。

（つづく）